曲线拟合实验报告

数值分析 课程设计报告 学生姓名

学生学号

所在班级

指导教师

一、课程设计名称 函数逼近与曲线拟合 二、课程设计目的及要求 实验目的: ⑴学会用最小二乘法求拟合数据的多项式,并应用算法于实际问题。

⑵学会基本的矩阵运算,注意点乘与叉乘的区别。

实验要求: ⑴编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式,并求平方误差,做出离散函数 与拟合函数的图形; ⑵用 MATLAB 的内部函数 polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差,并用MATLAB的内部函数plot作出其图形,并与(1)结果进行比较。

三、课程设计中的算法描述 用最小二乘法多项式曲线拟合,根据给定的数据点,并不要求这条曲线精确的经过这些点,而就是拟合曲线无限逼近离散点所形成的数据曲线。

思 路 分 析 : 从 整 体 上 考 虑 近 似 函 数 ) (x p 同 所 给 数 据 点 ）

（i iy x , 误 差i i iy x p r   ) ( 的大小,常用的方法有三种:一就是误差i i iy x p r   ) ( 绝对值的最大值im ir  0max ,即误差向量的无穷范数;二就是误差绝对值的与 miir0,即误差向量的 1成绩评定

范数;三就是误差平方与 miir02的算术平方根,即类似于误差向量的 2 范数。前两种方法简单、自然,但不便于微分运算,后一种方法相当于考虑 2 范数的平方,此次采用第三种误差分析方案。

算法的具体推导过程: 1、设拟合多项式为:

2、给点到这条曲线的距离之与,即偏差平方与:

3、为了求得到符合条件的 a 的值,对等式右边求 偏导数,因而我们得到了:

4、将等式左边进行一次简化,然后应该可以得到下面的等式

5、把这些等式表示成矩阵的形式,就可以得到下面的矩阵:

        niininiiknikinikinikinikiniiniinikiniiyyyaax x xx x xx x11i11012111111211 1an    6.将这个范德蒙得矩阵化简后得到 n kkn nkkyyyaaax xx xx x    21102 21 1111 7、因为 Y A X  * ,那么 X Y A /  ,计算得到系数矩阵,同时就得到了拟合曲线。

四、课程设计内容 ⑴实验环境:MATLAB2010 ⑵实验内容:给定的数据点

0 0、5 0、6 0、7 0、8 0、9 1、0

1 1、75 1、96 2、19 2、44 2、71 3、00 1) 用最小二乘法求拟合数据的多项式; 2) 用 MATLAB 内部函数 polyfit 函数进行拟合。

⑶实验步骤 1)首先根据表格中给定的数据,用 MATLAB 软件画出数据的散点图(图 1)。

2)观察散点图的变化趋势,近似于二次函数。则用二次多项式进行拟合,取一组基函数 ,并令 ,其中 就是待定系数 。

3)用 MATLAB 程序作线性最小二乘法的多项式拟合,求待定系数。

算法实现代码如下: x=[0 0、5 0、6 0、7 0、8 0、9 1、0]; y=[1 1、75 1、96 2、19 2、44 2、71 3、00]; R=[(x、^2)" x" ones(7,1)]; A=R\y"

4) 用 MATLAB 程序计算平均误差。

算法实现代码如下: y1=[1 1、75 1、96 2、19 2、44 2、71 3、00]; x=[0 0、5 0、6 0、7 0、8 0、9 1、0]; y=x、^2+x+1; z=(y-y1)、^2; sum(z) 5) 作出拟合曲线与数据图形(图 2)。

6) 用MATLAB 的内部函数 polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差。

算法实现代码如下: x=[0 0、5 0、6 0、7 0、8 0、9 1、0]; y=[1 1、75 1、96 2、19 2、44 2、71 3、00]; A=polyfit(x,y,2);%二次多形式拟合% z=polyval(A,x); A d=sum((z-y)、^2) 7)绘制使用 polyfit 函数实现的拟合图形。(图 3) 五、程序流程图

图 5-1 用最小二乘法求多项式拟合曲线流程图

图 5-2 用 polyfit 函数求多项式拟合曲线流程图 六、实验结果 输入初始数据点 根据原始数据绘制散点图 分析数据点变化趋势,确定拟合多项式 用最小二乘法求系数矩阵,确定多项式 用所求的多项式,计算误差 绘制拟合曲线 输入初始数据点 调用 polyfit 函数,确定多形式的系数 调用 plot 函数进行绘图 调用 polyval 函数,进行多项式求值

图 6-1 表中数据的散点图

图 6-2、最小二乘法实现的拟合曲线 第 1 问

系数为 A =

1、0000

1、0000

1、0000 则多项式的方程为

平方误差与为 ans =1、9722e-031

图 6-3、polyfit 函数实现的拟合函数 第 2 问 系数为 A =

1、0000

1、0000

1、0000 则多项式的方程为

平方误差与为 ans =

1、9722e-031

七、实验结果分析 编写程序用最小二乘法求拟合曲线的多项式的过程中,求出的数据与拟合函数的平方误差很小,达到了很高的精度要求,以及通过散点求得的拟合曲线比较

光滑。而用 MATLAB 的内部函数求 polyfit 求解的曲线拟合多项式与平方误差与程序求得的相同,还有就就是虽然求解过程简单了,但用 MATLAB 的内部函数做出的图形由明显的尖点,不够光滑。

此次实验数据较少,而且数据基本都就是可靠数据。但就是在应用实际问题中,数据会很庞杂,此时对于最小为乘法的算法就需要进一步的细化。例如在进行数据采集时,由于数据采集器(各种传感器)或机器自身的原因及其外部各种因素的制约,导致数据偶尔会有大幅度的波动,及产生一些偏差极大的数据,不能真实反映数据的可靠性,所以会对数据进行筛选或修正。而此时就可应用曲线拟合的最小二乘法的进行处理。

八、实验心得体会 在日常的学习与生活中,我们可能会遇到各种方面的跟数据有关的问题,并不就是所有的数据都就是有用,必须对数据进行适当的处理,然后找出数据之间的关系,然后进行分析得出结果。此次实验结果基本没有大的区别,可就是MATLAB 提供给我们一个特别简洁的办法,应用一个函数即可实现相同的结果。虽然很方便,但就是对于初学者来说,我觉得打好基础才就是关键,对于一个知识点,应该掌握其最基本的原理,然后在将它应用于实际。

通过这个实验我也理解到了,数值分析就是一个工具学科,它教给了我们分析与解决数值计算问题得方法,使我从中得到很多关于算法的思想,从中受益匪浅。

附录:源代码 散点图: x=[0 0、5 0、6 0、7 0、8 0、9 1、0]; y=[1 1、75 1、96 2、19 2、44 2、71 3、00]; plot(x,y,"r*") title("实验数据点的散点图"); legend("数据点(xi,yi)"); xlable("x"); ylable("y"); 最小二乘拟合:

x=[0 0、5 0、6 0、7 0、8 0、9 1、0]; y=[1 1、75 1、96 2、19 2、44 2、71 3、00]; R=[(x、^2)" x" ones(7,1)]; A=R\y" x1=[0 0、5 0、6 0、7 0、8 0、9 1、0]; y1=[1 1、75 1、96 2、19 2、44 2、71 3、00]; x=[0 0、5 0、6 0、7 0、8 0、9 1、0]; y=x、^2+x+1; plot(x1,y1,"k+",x,y,"r") title("实验数据点的散点图及拟合曲线"); z=(y-y1)、^2; sum(z) Polyfit 函数拟合: x=[0 0、5 0、6 0、7 0、8 0、9 1、0]; y=[1 1、75 1、96 2、19 2、44 2、71 3、00]; A=polyfit(x,y,2);%二次多形式拟合% z=polyval(A,x); A d=sum((z-y)、^2) plot(x,y,"k+") title("实验数据点的散点图及拟合曲线"); hold on plot(x,z,"r")

思想丰富。

很主流很好看。

煤层气解吸曲线的拟合模型

马飞英1，王永清1，王林2，张强3，蒋睿

1（1.“油气藏地质及开发工程”国家重点实验室·西南石油大学 四川 成都 610500；2.中石油浙江油田分公司西南采气厂 四川 宜宾 645250；3.中石化西南油气分公司广西采油厂 广西 田东 531599） 摘要：煤层气解吸曲线反映了降压解吸的关系。针对目前煤层气解吸理论存在的问题，开展了对煤层气解吸理论修正的必要性分析。结果表明：对解吸曲线进行拟合，建立一个精确的解吸模型，不但可以解决煤层气解吸理论存在的问题，而且能指导煤层气产量预测及开发。于是，在现有模型的基础上，提出了一个新的煤层气解吸曲线的拟合模型，并借用马东民教授及其学生对采集的20个煤样进行吸附/解吸实验所测得的实验数据进行了验证。对比分析发现，新模型更加符合解吸曲线的趋势，20个煤样的解吸数据拟合结果的相关系数的平方更高。

关键词：煤层气，解吸曲线，拟合模型

中图分类号：TE31文献标识码：A

引 言

与常规天然气藏相比，煤层气藏不同的是，大部分煤层气吸附在基质孔隙内表面上，只有少量的甲烷处于游离状态存在于裂缝或溶解于地层水中。煤层气的产出，首先需要通过降压将吸附态的甲烷气解吸下来变成游离态。解吸是煤层气产出的基础，降压解吸规律对煤层气开采非常重要[1]。起初，人们都认为解吸是吸附的逆过程，解吸等温线和吸附等温线应该是吻合的，并利用吸附等温方程来描述解吸过程。2005年，张遂安等[2]学者进行了煤层气吸附/解吸可逆性实验研究，发现煤层气的解吸曲线与吸附曲线虽然很相似，但存在着差异。2008年，马东民教授[3]利用自行设计的AST-1000型煤层气吸附/解吸测定仪做了大量的煤层气吸附/解吸实验，结果表明：解吸曲线要滞后于吸附曲线。煤层气的解吸过程既然不同于吸附过程，那么如何对解吸曲线进行描述，目前还没有一种被大家认可的解吸曲线拟合模型。于是，本文针对如何拟合解吸曲线这个问题，提出对已有模型进行修正，并借用马东民教授及其学生做的吸附/解吸实验所测得的实验数据进行了验证。

1煤层气解吸理论

1.1存在的问题

目前，国内外煤层气井产气机理主要是：解吸-扩散-渗流，可见解吸作用是煤层气井产气的关键[4]。相对于吸附理论来说，煤层气解吸理论方面的研究较少[5-11]，认识不足，有待基金项目:国家科技重大专项“深煤层煤层气增产改造技术研究”(2011ZX05042-002-001)资助。 作者简介:马飞英（1985-），女，在读博士研究生，主要从事油气田开发方面的研究。

完善。用吸附理论来描述解吸过程主要存在的问题有：第一，对煤层气井临界解吸压力的预测存在误差[12]。第二，对煤层气井产量的计算以及采收率的预测存在影响。第三，对最大解吸量的计算存在错误。

1.2修正的必要性

煤层气的解吸过程既然不同于吸附过程，具有“可逆和滞后”的双重特性，那么对之前人们用吸附理论来描述解吸过程进行修正是必要的。因为建立一个精确的解吸模型，不但可以解决煤层气解吸理论存在的问题，而且能指导煤层气产量预测及开发；利用解吸曲线能够较准确地判断临界解吸压力、计算开采过程中的煤层气解吸量和预测理论采收率[13]，以便指导地面煤层气井排采方面的工作。

3煤层气解吸曲线的拟合模型

最初，人们认为解吸是吸附的完全可逆过程，并用Langmuir等温吸附方程来描述煤层气的解吸过程，即Langmuir方程：

V

VLpabp

（1）

pLp1bp

式中，p为储层压力，MPa；V为煤层气解吸到压力p时的煤层气残余吸附量，m/m；

a为最大吸附量，也就是Langmuir体积VL，m3/m3；bpL，pL为Langmuir压力，

MPa1；

后来，马东民等学者[14]通过实验研究得出：煤层气的吸附/解吸过程具有可逆性和解吸过程的滞后性，说明煤层气的等温吸附曲线与解吸曲线并不重合。通过将解吸曲线与标准的Langmuir曲线进行对比，马东民教授认为其差值相当于枯竭压力下的残余吸附量。据此，马东民教授在Langmuir等温吸附方程后加入一常数项c来表征煤层气藏枯竭压力下的残余吸附量Vc，即Langmuir解吸式：

V

VLpabp

Vcc（2）

pLp1bp

然而实际的实验数据表明：吸附曲线与解吸曲线并不是马东民教授所说的那样，只相差一个常数c，两曲线平行；而是随着压力的增加，吸附曲线和解吸曲线之间的差异越来越小，最终趋于零，两曲线慢慢相交成一条曲线，如图1所示。于是，在Langmuir解吸式的基础上，对常数c进行修正，用一指数函数取而代之，命名为Langmuir指数解吸式：

V

VLpabpppfppfVceVce（3）

pLp1bp

式中，Vc为煤层气藏的残余吸附量，m/m，当Vc取零时，即为Langmuir等温吸附方程；

pf为煤层气藏枯竭压力，MPa；为曲线差异递减速率常数，即越大吸附与解吸曲线

的差异随着压力增加就减小的越快[15]，MPa。



14实验数据验证

马东民教授的学生刘永彬从我国中高阶烟煤矿区采集了20个煤样，利用高压容量法对煤样进行了吸附/解吸实验，获得了吸附过程与解吸过程中过剩吸附量的实验数据，并按照质量守恒原理对过剩吸附量进行了校正，得到了校正吸附量（绝对吸附量的近似值）[16]。吸附实验数据用Langmuir公式拟合，对于解吸实验数据，利用Langmuir公式、Langmuir解吸式和Langmuir指数解吸式对其进行拟合，拟合参数值见表1，表2。从表1和表2可以看出，Langmuir公式对吸附数据的拟合，效果很好，误差极小，拟合结果的相关系数的平方基本上都在99%以上，拟合图见图1所示；而对于解吸数据的拟合，Langmuir公式效果最差，Langmuir解吸式次之，修正模型Langmuir指数解吸式效果最好（拟合结果的相关系数的平方都在99%以上），拟合图见图1所示。通过对比分析发现，修正模型Langmuir指数解吸式能够更好地描述解吸曲线，揭示煤层气的压降解吸规律。

图1 不同岩芯的等温吸附/解吸实验数据拟合曲线

Figure 1 The fitting curves of the different coal cores adsorption/desorption experiment data

5解吸滞后原因

早在1992年，A T 艾鲁尼[ ]认为甲烷在煤储层中的赋存方式除了游离态、吸附态、溶解态之外，还有可能存在固溶态。2004年，Alexeev等[ ]学者通过对煤样进行核磁共振测量，发现煤中甲烷的存在形态不仅仅呈吸附态和游离态，还存在固溶态，且固溶态甲烷是以晶体形式赋存于煤基质中的。由于在降压解吸条件下，固溶态是解吸不出来的，从而导致了煤层气解吸滞后。

6结论

（1）降压条件下，降压解吸曲线更加符合V

VLpppf

Vce，而不是

pLp

V

VLpVLp

Vc。 或V

pLppLp

（2）煤储层中的固溶态甲烷导致了解吸滞后。

（3）修正模型Langmuir指数解吸式能够更好地描述解吸曲线，揭示煤层气的压降解吸

规律，对煤层气的开采具有一定的指导意义。

表1 吸附/解吸实验数据拟合参数值

伊1 杭1 乌1 杭2 贵9 贵8 伊2 平1 平2 贵2 和1 和3 和2 贵6 贵4 贵5 贵7 贵1 贵3 贵10

6.52 5.29 4.86 4.73 4.45 1.00 3.44 0.70 0.82 1.36 2.46 4.36 2.06 4.05 4.14 4.47 2.23 1.52 2.34 3.10

6.7668 8.0225 24.5087 9.8413 28.0753 21.3746 6.5365 27.1282 31.5149 16.9152 32.9231 37.0642 30.5065 35.4282 36.6654 36.6963 26.8740 42.7611 32.9036 48.4881

0.0965 0.0848 0.1860 0.0710 0.3207 0.3266 0.1564 0.2381 0.2476 0.2149 0.4281 0.3306 0.4566 0.3204 0.3443 0.3225 0.3876 0.2799 0.4693 0.3181

0.9820 0.9933 0.9967 0.9906 0.9956 0.9979 0.9896 0.9987 0.9989 0.9957 0.9960 0.9968 0.9970 0.9962 0.9984 0.9984 0.9942 0.9949 0.9949 0.9964

3.5881 6.8173 22.8755 6.2340 25.4695 18.3504 4.2131 21.8705 28.4036 14.3974 29.6023 33.9400 26.7527 31.4932 33.1844 35.4195 22.6334 37.3376 28.0352 44.4581

0.1935 0.0802 0.1180 0.1186 0.1424 0.3533 0.2592 0.1561 0.1289 0.2027 0.3427 0.2555 0.3735 0.3071 0.3033 0.2676 0.3599 0.2047 0.3282 0.2063

0.9848 0.7719 4.1628 0.8041 6.8049 2.2771 1.2352 6.1541 7.1422 2.0550 4.8217 4.6096 4.7309 4.2450 3.7556 2.6594 4.6012 7.0204 6.2652 7.1837

0.9899 0.9973 0.9984 0.9993 0.9967 0.9994 0.9957 0.9979 0.9987 0.9980 0.9990 0.9990 0.9990 0.9990 0.9996 0.9996 0.9987 0.9981 0.9969 0.9986

表2 吸附/解吸实验数据拟合参数值

伊1 杭1 乌1 杭2 贵9 贵8 伊2 平1 平2 贵2 和1 和3 和2 贵6 贵4 贵5 贵7 贵1 贵3 贵10

6.52 5.29 4.86 4.73 4.45 1.00 3.44 0.70 0.82 1.36 2.46 4.36 2.06 4.05 4.14 4.47 2.23 1.52 2.34 3.10

3.7140 4.3806 17.8359 5.1980 22.8805 18.6820 4.5364 19.8361 23.9363 13.1596 31.4336 34.3854 28.7959 33.3939 33.3115 34.7634 25.3288 36.0177 30.6781 43.1665

0.6274 0.3806 0.5374 0.3290 0.7874 0.6258 0.8638 0.8404 0.7143 0.5276 0.6304 0.4707 0.7095 0.4870 0.5200 0.4016 0.6632 0.5794 0.7377 0.5093

0.9636 0.9518 0.9478 0.9794 0.9240 0.9921 0.9599 0.9315 0.9362 0.9793 0.9914 0.9914 0.9904 0.9946 0.9936 0.9964 0.9905 0.9712 0.9839 0.9790

4.3706 6.1654 23.4192 6.6542 29.6667 20.8658 5.0765 24.7521 30.6824 16.7198 34.1105 39.4323 31.4488 34.7996 37.3645 38.3729 26.1344 45.2285 35.4250 52.6611

0.3262 0.1568 0.2321 0.1682 0.2728 0.3914 0.5049 0.3493 0.2921 0.2321 0.4360 0.2755 0.4634 0.2613 0.3340 0.2873 0.2809 0.2420 0.3612 0.2436

0.9010 0.8267 3.5010 0.7548 5.5894 2.0903 1.0295 4.9362 5.2774 1.9425 3.3137 4.2759 3.7067 4.6603 3.4458 2.3166 5.1307 5.6583 4.0507 6.0168

0.6304 0.6719 0.7205 0.4481 0.6232 0.5243 1.3665 0.8952 0.7967 0.3765 0.7308 0.3469 0.6693 0.0513 0.4658 0.4379 0.0536 0.3656 0.3937 0.3777

0.9900 0.9979 0.9987 0.9993 0.9967 0.9996 0.9967 0.9981 0.9992 0.9984 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9997 0.9997 0.9990 0.9986 0.9977 0.9989

0.0430 0.0059 0.3112 0.1145 0.3049 0.0003 0.2503 0.3012 0.4514 0.0444 0.3487 0.0002 0.1549 0.1460 0.0013 0.1519 0.0028 0.4568 0.8744 0.4258

参考文献

[1]马东民,李卫波,蔺亚兵.降压解吸关系式在中高阶煤煤层气排采中的应用[J].西安科技大学学报, 2010, 30(6):697-701.

[2]张遂安,叶建平,唐书恒等.煤对甲烷气体吸附-解吸机理的可逆性实验研究[J].天然气工业,2005,25(1):44-46.

[3]马东民.煤层气吸附/解吸机理研究[D].西安科技大学博士学位论文.2008.

[4]Gamson P, Beamish B, Johnson D.Coal microstructure and mineralization：their effect on methane recovery.In: Coalbed methane and coal geology.(eds.by Gayer R.and Harrie I.),Geology Society Specil Publication 1996；(109): 165-179.

[5]宋岩,张新民,柳少波.中国煤层气基础研究和勘探开发技术新进展[J].天然气工业, 2005, 25(1):1-7.

[6]马东民,韦波,蔡忠勇.煤层气解吸特征的实验研究[J].地质学报, 2008, 82(10):1432-1436.[7]杨新乐,张永利,李成全,等.考虑温度影响下煤层气解吸渗流规律试验研究[J].岩土工程学报, 2008, 30(12):1811-1814.

[8]曾社教,马东民,王鹏刚.温度变化对煤层气解吸效果的影响[J].西安科技大学学报, 2009, 29(4):449-453.

[9]马东民,张遂安,王鹏刚,等.煤层气解吸的温度效应机制[J].煤田地质与勘探, 2010, 38(6):39-42.

[10]马东民,张遂安,王鹏刚,等.煤层气解吸的温度效应[J].煤田地质与勘探, 2011, 39(1):20-23.

[11]马东民,蔺亚兵,张遂安.煤层气升温解吸特征分析与应用[J].中国煤层气, 2011, 8(3):11-15.

[12]马东民,马薇,蔺亚兵.煤层气解吸滞后特征分析[J].煤炭学报,2012,37(11):1885-1889.[13]李小彦,司胜利.我国煤储层煤层气解吸特征[J].煤田地质与勘探,2004,32(3):27-29.[14]马东民,张遂安,蔺亚兵.煤的等温吸附-解吸实验及其精确拟合[J].煤炭学报,2011,36(3):477-480.

[15]张强,章双龙,杨玲智.应力敏感煤层气藏水平井压力动态分析[J].特种油气藏,2012,19(6):108-111.

[16]刘永彬.中高阶烟煤对甲烷的吸附/解吸特征研究[D].西安科技大学,2010.

The fitting model of coalbed methane desorption curve

Ma Feiying1，Wang Yongqing1，Wang Lin2，Zhang Qiang3，Jiang Rui1

(1.State Key Laboratory of Oil and Gas Reservoir Geology and Exploitation, Southwest Petroleum University, Chengdu, Sichuan 610500, China; 2.Southwest gas production plant, Zhejiang Oil Field Branch Company, CNPC,

Yibin Sichuan 645250, China; 3.Guangxi Oil Production Plant, Southwest Oil and Gas Company, SINOPEC, guangxi tiandong 531599, China)

Abstract：Coalbed methane desorption curve reflects the relationship between drop preure and desorption.In

view of the coalbed methane desorption theory problems, we developed the analysis of the neceity of theory revision of coalbed methane desorption.The results show: to fit the desorption curve, set up an accurate desorption model, which not only can solve the problems of coalbed methane desorption theory, but also guide the prediction of coalbed methane production and development.Therefore, on the basis of the existing models, we put forward a new fitting model for coalbed methane desorption curve, and it was verified by the measured experimental data of Profeor Ma Dongmin and his students on the acquisition of 20 coal samples adsorption/desorption experiments.Through the comparative analysis, we found that the new model is more consistent with the desorption curve, the square of the correlation coefficient of the desorption data fitting results of 20 coal samples is higher.

Key words: coalbed methane, desorption curve, fitting model

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