【立体几何 空间几何体的表面积与体积】 立体几何表面积体积公式

来源:应急预案 发布时间:2019-07-11 08:43:46 点击:

第2讲 空间几何体的表面积与体积

考点

考查柱、锥、台、球的体积和表面积,由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合,难度有所增大. 【复习指导】

本讲复习时,熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式,运用这些公式解决一些简单的问题.

基础梳理

1.柱、锥、台和球的侧面积和体积

2. (1)

(2)底面面积之和.

两种方法

(1)解与球有关的组合体问题的方法,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图.

体积) 通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥) 的高,而通过直接计算得到高的数值.

双基自测

1.(人教A 版教材习题改编) 圆柱的一个底面积为S ,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( ) . A .4πS C .πS

B .2πS 23D. 3πS

S π

解析 设圆柱底面圆的半径为r ,高为h ,则r = 又h =2πr =2πS ,∴S 圆柱侧=πS ) 2=4πS . 答案 A

2.(2012·东北三校联考) 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ) .

A .3πa 2 B .6πa 2 C .12πa 2 D .24πa 2

解析 由于长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ,则长方体的体对角线长为(2a )+a +a =6a . 又长方体外接球的直径2R 等于长方体的体对角线,∴2R =6a . ∴S 球=4πR 2=6π

a 2. 答案 B

3.(2011·北京) 某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是

( ) .

A .8 C .10

B .62 D .2

解析 由三视图可知,该几何体的四个面都是直角三角形,面积分别为2,8,10,所以面积最大的是10,故选择C. 答案 C 4.(2011·湖南) 设

右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) . 99

A. 2π+12 B. 2π+18 C .9π+42 D .36π+18

解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体,球的直径为3,长方体的底面是边4⎛3⎫39

长为3的正方形,高为2,故所求体积为2×3+3π 2⎪2+18.

⎝⎭

2

答案 B

5.若一个球的体积为43π,则它的表面积为________. 4π

解析 V =33=3π,∴R 3,S =4πR 2=4π·3=12π. 答案 12π

考向一 几何体的表面积

【例1】►(2011·安徽) 一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

( ) .

A .48 C .48+17

B .32+817 D .80

[审题视点] 由三视图还原几何体,把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积. 解析 换个视角看问题,该几何体可以看成是底面为等腰梯形,高为4的直棱柱,且等腰梯形的两底分别为2,4,高为4,故腰长为17,所以该几何体的表面积为48+17. 答案

C

以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分

析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系. 【训练1】 若一

个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于( ) . A. 3 C .3

B .2 D .6

解析 由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱,则此三棱柱的侧面积为2×1×3=6. 答案 D

考向二 几何体的体积

【例2】►(2011·广东) 如图,某几何体的正视图(主视图) 是平行四边形,侧视图(左视图) 和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( ) .

A .183 B .123 C .3 D .63

[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状,根据图中的数据和几何体的体积公式求解.

解析 该几何体为一个斜棱柱,其直观图如图所示,由题知该几何体的底面是边长为3的正方形,高为3,故V =3×3×3=93. 答案

C

以三视图为载体考查几何体的体积,解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状

构成,并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解. 【训练2】 (2012·东莞模拟) 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于( ) .

2816

A. 3π B. 3π 4

C. 3+8 D .12 π

解析 由三视图可知,该几何体是底面半径为2,高为2的圆柱和半径为1的球的组合体,428

则该几何体的体积为π×22×2+3=3 答案 A

考向三 几何体的展开与折叠

【例3】►(2012·广州模拟) 如图1,在直角梯形ABCD 中,∠ADC =90°,CD ∥AB ,AB =4,AD =CD =2,将△ADC 沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体DABC ,如图2所示.

(1)求证:BC ⊥平面ACD ; (2)求几何体DABC 的体积.

[审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理,证明BC 垂直于平面ACD 内的两条相交线即可;(2)利用体积公式及等体积法证明. (1)证明 在图中,可得AC =BC =22,

从而AC 2+BC 2=AB 2,故AC ⊥BC , 取AC 的中点O ,连接DO ,

则DO ⊥AC ,又平面ADC ⊥平面ABC ,平面ADC ∩平面ABC =AC ,DO ⊂平面ADC ,从而DO ⊥平面ABC ,∴DO ⊥BC ,

又AC ⊥BC ,AC ∩DO =O ,∴BC ⊥平面ACD .

(2)解 由(1)可知,BC 为三棱锥BACD 的高,BC =22,S △ACD =2,∴V BACD = 1142BC =×2×22=△ACD ·333,

2由等体积性可知,几何体DABC 的体积为

3.

(1)有关折叠问题,一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图

形) 各元素间的位置和数量关系,哪些变,哪些不变.

(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题,常选择恰当的母线或棱展开,转化为平面上两点间的最短距离问题.

【训练3】 已知

在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,底面为直角三角形,∠ACB =90°,AC =6,BC =CC 12,P 是BC 1上一动点,如图所示,则CP +P A 1的最小值为________.

解析 P A 1在平面A 1BC 1内,PC 在平面BCC 1内,将其铺平后转化为平面上的问题解决.计算A 1B =AB 1=40,BC 1=2,又A 1C 1=6,故△A 1BC 1是∠A 1C 1B =90°的直角三角形.铺平平面A 1BC

1、平面BCC 1,如图所示.

CP +P A 1≥A 1C .

在△AC 1C 中,由余弦定理得

A 1C 62+(2)2-2·2·cos 135°=50=52,故(CP +P A 1) min =2.

答案 52

难点突破17——空间几何体的表面积和体积的求解

空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点,解决这类问题,首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式,其次要掌握一定的技巧,如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等,这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键.

【示例1】► (2010·安徽) 一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为

( ) .

A .280 B .292 C .360 D .

372

【示例2】► (2011·全国新课标) 已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在3

同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的16体积较大者的高的比值为________.

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