数理统计试卷

试卷名称：

数理统计I 课程所在院系：

理学院 考试班级：

学号：

姓名：

成绩：

试卷说明：

1.本次考试为闭卷考试。本试卷共4页，共八大部分，请勿漏答；

2.考试时间为120分钟，请掌握好答题时间；

3.所有试题答案写在试卷上；

4.答题中可能用到的数据如下：

,,,，,，, ，， 一.填空（每空2分，共30分） 1. 设 A、B 、C 为三个随机事件，则事件“A、B 发生但C不发生” 可表示为 。

2.将一枚骰子连续投掷两次，第二次出现的点数为3的概率等于 。

3．每次试验结果相互独立，设每次试验成功的概率为。则重复进行试验直到第10次才取得 次成功的概率等于 。

4.已知为从总体中抽取出来的容量为20的简单随机样本的样本平均，且=7，=4，则 , 。

5.已知到连续型随机变量的概率密度函数为，则 。

6． 已知，，， 则 , 。

7.为估计大学生近视眼所占的百分比，用重复抽样方式抽取200名同学进行调查，结果发现有68个同学是近视眼。则大学生近视眼所占的百分比的95%的置信区间为 。8．已知是来自总体的简单随机样本，。令，则当 时，为总体均值的无偏估计。

9.已知随机变量和相互独立，且，，则所服从的分布为 。

10.已知=25， 36，且和的相关系数，则 。

11.已知,（这里）.由车比雪夫不等知 。

12.已知和都是连续型随机变量，，设的概率密度函数，则的概率密度函数 。

13.已知服从参数为1的泊松分布,则= 。

二.（12分）一个口袋里有三个球，这三个球上面依次标有数字0、1、1。现在从袋里任取一个球，不放回袋中，接着再从袋里取出一个球。设表示第一次取到的球上标有的数字， 表示第二次取到的球上标有的数字。

（1） 求的联合概率分布；

（2）求关于 的边缘概率分布和关于的边缘概率分布，判断和是否独立（3）计算和 的协方差。

三．(8分)某商场所供应的电视机中，甲厂产品与乙厂产品各占50%；

甲厂产品的次品率是10% ，乙厂产品的次品率是15% 。（1）求该商场电视机的次品率；

（2）现某人从该商场上买了一台电视，发现它是次品，求它由甲厂生产的概率。

四．（8分）设某研究所有200名研究人员,现该研究所准备在会议厅举行一个内部学术交流会。假设每个研究人员都以 现在该所准备在会议厅举行一个内部学术交流会,假设每一位研究人员都以0.6的概率去参加这个学术交流会,并且每一位研究人员是否去参加会议是相互独立的,问会议厅应至少准备多少个座位，才能以99.9%概率保证去参加交流会的人员都有座位坐。

五．（10分）一批糖袋的重量（单位：千克）服从正态分布。现在从该批糖袋中随机抽取12袋，测得这12糖袋的平均重量为，样本方差为0.1291。

(1) 求这批糖袋的平均重量的置信度为95%的置信区间，并计算估计的精度。

(2) 求这批糖袋的重量方差的置信度为95%的置信区间。

六.（8分）某批电子元件的寿命（单位：小时）服从正态分布。正常情况下，元件的平均寿命为225。现在从中该批电子元件中任意抽取16件，测得这16件元件的平均寿命为241，样本方差为92。据此以显著水平0.05来判断是否可以认为这批电子元件的平均寿命与225无显著差异？ 七．（12分）一批由同一种原料织成的布，用不同的印染工艺处理，然后进行缩水处理。假设采用A、B、C三种不同的工艺，每种工艺处理4块布样，测得缩水率（单位：%）的数据如表1所示。根据这些数据，完成下列问题：

（1） 填写下列未完成的方差分析表（表2），并根据方差分析表以显著水平来判断不同的工艺对布的缩水率的影响是否有显著差异？ （2） 若有显著差异，则用费歇检验法（即LSD检验法）做进一步多重比较，并且指出存在显著差异的工艺的总体均值差的置信度为95%的置信区间。

工艺种类 缩水率 A 5 7 4 2 B 7 6 6 5 C 8 7 9 7 表1 变差来源 平方和 自由度 均方和 F值 组间 21.167 F= 组内 ＼ 总计 38.917 ＼ ＼ 表2 八.（12分）为了研究某地区年度汽车拥有量y（单位：百台）与货运周转量x （单位：万吨*公里）之间的关系，抽样测量得下列样本数据：

货运周转量x 0.1 0.3 0.4 0.55 0.7 0.8 0.95 汽车拥有量y 15 18 19 21 22.6 23.8 26 （1）求y对x的线性回归系数与回归剩余标准差,并写出经验线性回归方程。

(2)计算样本相关系数，并进行线性回归的显著性检验（显著水平=0.05）。

(3)求当货运周转量x=0.5时，该地区年度汽车拥有量y的置信度为95%的置信区间。

参考答案 试卷名称：

数理统计I 课程所在院系：

理学院 考试班级：

学号：

姓名：

成绩：

试卷说明：

5.本次考试为闭卷考试。本试卷共4页，共八大部分，请勿漏答；

6.考试时间为120分钟，请掌握好答题时间；

7.所有试题答案写在试卷上；

8.答题中可能用到的数据如下：

,,,，,, ；

， 二.填空（每空2分，共30分） 1. 设 A、B 、C 为三个随机事件，则事件“A、B 发生但C不发生” 可表示为 。

2.将一枚骰子连续投掷两次，第二次出现的点数为3的概率等于 1/6 。

3．每次试验结果相互独立，设每次试验成功的概率为。则重复进行试验直到第10次才取得 次成功的概率等于 C9k pk (1-p)10-k 。

4.已知为从某个总体中抽取出来的容量为20的简单随机样本的样本平均，且=7，=4，则 7 , 0.2 。

5.已知到连续型随机变量的概率密度函数为，则 0.5 。

6． 已知，，，则1/3 ,1/6 。

7.为估计大学生近视眼所占的百分比，用重复抽样方式抽取200名同学进行调查，结果发现有68个同学是近视眼。则大学生近视眼所占的百分比的95%的置信区间为 [0.2743,0.4057]或 [0.278,0.408] 。

8．已知是来自总体的简单随机样本，。令，则当 1/16 时，为总体均值的无偏估计。

9.已知随机变量和相互独立，且，，则所服从的分布为 N(-11,38) 。

10.已知=25， 36，且和的相关系数，则 37 。

11.为随机变量，且,.由车比雪夫不等知 0.9375 。

12.已知和都是连续型随机变量，，设的概率密度函数，则的概率密度函数 。

13.已知服从参数为1的泊松分布,则= 2 。

二.（12分）一个口袋里有三个球，这三个球上面依次标有数字0、1、1。现在从袋里任取一个球，不放回袋中，接着再从袋里取出一个球。设表示第一次取到的球上标有的数字， 表示第二次取到的球上标有的数字。

（2） 求的联合概率分布律；

（2）求关于 的边缘概率分布和关于的边缘概率分布，判断和是否独立；

（3）求和 协方差。

解：（1） 0 1 0 0 1/3 1 1/3 1/3 （2） 0 1 P 1/3 2/3 0 1 P 1/3 2/3 和不独立。

（3） ， ， ， 三．(8分)某商场所供应的电视机中，甲厂产品与乙厂产品各占50%；

甲厂产品次品率是10% ，乙厂产品次品率是15% 。（1）求该商场电视机的次品率；

（2）现某人从该商场上买了一台电视，发现它是次品，求它由甲厂生产的概率。

解：用A表示“甲厂产品”, 用B表示“次品率”, 则 , , (1). ----- 4分 (2). ---- 8分 四．（8分）设某研究所有200名研究人员,现该研究所准备在会议厅举行一个内部学术交流会。假设每个研究人员都以 现在该所准备在会议厅举行一个内部学术交流会,假设每一位研究人员都以0.6的概率去参加这个学术交流会,并且每一位研究人员是否去参加是相互独立的,问会议厅应至少准备多少个座位，才能以99.9%概率保证去参加交流会的人员都有座位坐。

解：假设准备x个座位条,用表示与会的人数，显然 服从B（200，0.6）， 1分 np=120,np(1-p)=48, 2分 因为n=10000，充分大由中心极限定理可以认为 近似服从， 4分, 根据题意知道：

6分 所以：，即，解得， 至少准备141个座位 8分 五．（10分）一批糖袋的重量（单位：千克）服从正态分布。现在从该批糖袋中随机抽取12袋，测得这12糖袋的平均重量为，方差为0.1291 (3) 求这批糖袋的平均重量的置信度为95%的置信区间，并计算估计的精度。

(4) 求这批糖袋的重量方差的置信度为95%的置信区间。

解：因为 S2=0.1291，得， 1分 （ 1） ，，, 查表得 的置信度为95%的置信区间为 4 分 估计精度为 7分 （2）置信度为95%的估计：

查表得 ， 所以，新生男婴儿体重的方差的区间估计为. 10分 六.（8分）某批电子元件的寿命（单位：小时）服从正态分布。正常情况下，元件的平均寿命为225。现在从中该批电子元件中任意抽取16件，测得它们的平均寿命为241，样本方差为92。据此以显著水平0.05来判断是否可以认为这批电子元件的平均寿命与225无显著差异？ 解：样本标准差9.591 （1）建立统计假设 1分 （2）建立统计量：

3分 （3）在成立前提下计算：

5分 由0.05求得 6分 （4）因为，拒绝即不可以认为这批电子元件的寿命与225无显著差异. 8分 七．（12分）一批由同一种原料织成的布，用不同的印染工艺处理，然后进行缩水处理。假设采用A、B、C三种不同的工艺，每种工艺处理4块布样，测得缩水率（单位：%）的数据如表1所示。根据这些数据，完成下列问题：

（3） 填写下列未完成的方差分析表（表2），并根据方差分析表以显著水平来判断不同的工艺对布的缩水率的影响是否有显著差异？ （4） 若有显著差异，则用费歇检验法（即LSD检验法）做进一步多重比较，并且指出存在显著差异的工艺的总体均值差的置信度为95%的置信区间。（10分） 工艺种类 缩水率 A 5 7 4 2 B 7 6 6 5 C 8 7 9 7 表1 方差来源 平方和 自由度 均方和 F值 组间 21.167 2 10.583 F= 5.366 * 组内 17.750 9 1.972 ＼ 总计 38.917 11 ＼ ＼ 表2 解:(1)完成方差分析表如上 4分（其中F值1分，其他每空格0.5分） 由知, F= 5.366>, 5分 可认为有显著差异. 6分 (2) ，，1.972， ， 所以，（） 计算得，， 多重比较结果：

3．25* 1.5 1.75 / 因为时，认为差异显著。

由上表知A和C有差异显著。A和B，B和C差异不显著 的可靠性为的置信区间为 计算LSD 7分 多重比较结果 10分 均值差的取间估计 12分 八.（12分）为了研究某地区年度汽车拥有量y（单位：百台）与货运周转量x （单位：万吨*公里）之间的关系，抽样测量得下列样本数据：

货运周转量x 0.1 0.3 0.4 0.55 0.7 0.8 0.95 汽车拥有量y 15 18 19 21 22.6 23.8 26 （1）求y对x的线性回归系数与回归剩余标准差,写出经验线性回归方程。

(2)计算样本相关系数，并进行线性回归的显著性检验（显著水平=0.05）。

(3)求当货运周转量x=0.5时，该地区年度汽车拥有量y的置信度为95%的置信区间。

解∶ 1分 2分 4分 （1）：经验线性回归方程为 5分 (2) 7分 检验假设 :对的线性回归关系不显著。

=0.05, 因为 所以拒绝，认为对的线性回归关系显著， 关于是正相关的。

9分 （3）因为经验回归方程为: 。

所以 时， 2.571 的置信区间为[19.67, 20.80]，可靠性为95% 12分

数理统计学习感想

学习了一学期的数理统计，我学会了如何在生活中运用所学的知识去解决一些问题。

现实中常常存在这种情况，我们所掌握的数据只是部分单位的数据或有限单位的数据，而我们所关心的却是整个总体甚至是无限总体的数量特征。例如,民意测验谁会当选主席?体育锻炼对增强心脏功能是否有益?某种新药是否提高疗效?全国婴儿性别比例如何?等等。这时只靠部分数据的描述是无法获得总体特征的知识。

我们利用统计推断的方法来解决。所谓统计推断就是以一定的置信标准要求，根据样本数据来判断总体数量特征的归纳推理的方法。统计推断是逻辑归纳法在统计推理的应用，所以称为归纳推理的方法。统计推断可以用于总体数量特征的估计，也可以用于对总体某些假设的检验，所以又有不同的推断方法。下面就参数估计和假设检验的基本概念及原理简单谈谈。

参数估计是根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数的方法。它是统计推断的一种基本形式，是数理统计学的一个重要分支，分为点估计和区间估计两部分。 参数估计包括点估计和区间估计两种方法。

点估计是依据样本估计总体分布中所含的未知参数或未知参数的函数。通常它们是总体的某个特征值，如数学期望、方差和相关系数等。点估计问题就是要构造一个只依赖于样本的量，作为未知参数或未知参数的函数的估计值。构造点估计常用的方法是：①矩估计法。用样本矩估计总体矩，如用样本均值估计总体均值。②最大似然估计法。于1912年由英国统计学家R.A.费希尔提出，利用样本分布密度构造似然函数来求出参数的最大似然估计。③最小二乘法。主要用于线性统计模型中的参数估计问题。④贝叶斯估计法。基于贝叶斯学派（见贝叶斯统计）的观点而提出的估计法。

区间估计是依据抽取的样本，根据一定的正确度与精确度的要求，构造出适当的区间，作为总体分布的未知参数或参数的函数的真值所在范围的估计。例如人们常说的有百分之多少的把握保证某值在某个范围内，即是区间估计的最简单的应用。1934年统计学家J.奈曼创立了一种严格的区间估计理论。求置信区间常用的三种方法：①利用已知的抽样分布。②利用区间估计与假设检验的联系。③利用大样本理论。

假设检验是抽样推断中的一项重要内容。它是根据原资料作出一个总体指标是否等于某一个数值，某一随机变量是否服从某种概率分布的假设，然后利用样本资料采用一定的统计方法计算出有关检验的统计量，依据一定的概率原则，以较小的风险来判断估计数值与总体数值(或者估计分布与实际分布)是否存在显著差异，是否应当接受原假设选择的一种检验方法。

假设检验的一般步骤

1、提出检验假设（又称无效假设，符号是H0））和备择假设（符号是H1）。H0：样本与总体或样本与样本间的差异是由抽样误差引起的； H1：样本与总体或样本与样本间存在本质差异； 预先设定的检验水准为0.05；当检验假设为真，但被错误地拒绝的概率，记作α，通常取α=0.05或α=0.01。

2、选定统计方法，由样本观察值按相应的公式计算出统计量的大小，如X2值、t值等。根据资料的类型和特点，可分别选用Z检验，T检验，秩和检验和卡方检验等。

3、根据统计量的大小及其分布确定检验假设成立的可能性P的大小并判断结果。若P>α，结论为按α所取水准不显著，不拒绝H0，即认为差别很可能是由于抽样误差造成的，在统计上不成立；如果P≤α,结论为按所取α水准显著，拒绝H0，接受H1，则认为此差别不大可能仅由抽样误差所致，很可能是实验因素不同造成的，故在统计上成立。P值的大小一般可通过查阅相应的界值表得到。

假设检验应注意的问题

1、做假设检验之前，应注意资料本身是否有可比性。

2、当差别有统计学意义时应注意这样的差别在实际应用中有无意义。

3、根据资料类型和特点选用正确的假设检验方法。

4、根据专业及经验确定是选用单侧检验还是双侧检验。

5、当检验结果为拒绝无效假设时，应注意有发生I类错误的可能性，即错误地拒绝了本身成立的H0，发生这种错误的可能性预先是知道的，即检验水准那么大；当检验结果为不拒绝无效假设时，应注意有发生II类错误的可能性，即仍有可能错误地接受了本身就不成立的H0，发生这种错误的可能性预先是不知道的，但与样本含量和I类错误的大小有关系。

6、判断结论时不能绝对化，应注意无论接受或拒绝检验假设，都有判断错误的可能性。

区间估计与假设检验有区别也有联系。

（一）主要区别：

1、参数估计是以样本资料估计总体参数的真值，假设检验是以样本资料检验对总体参数的先验假设是否成立；

2、区间估计求得的是求以样本估计值为中心的双侧置信区间，假设检验既有双侧检验，也有单侧检验；

3、区间估计 立足于大概率，假设检验立足于小概率。

（二）主要联系：

1、都是根据样本信息推断总体参数；

2、都以抽样分布为理论依据，建立在概率论基础之上的推断；

3、二者可相互转换，形成对偶性。

另外，在统计推断中，我们是利用样本统计量估计和推测总体参数的。那么，很重要的一点就是要保证样本的代表性。因为如果从总体中抽取出来的样本缺乏代表性，那么利用这个样本提供的信息是难以准确有效地推测总体的某些分布特征的。因此，搞好统计推断的前提条件就是要利用随机抽样，尽量减小抽样误差。有关抽样的方法主要有以下几种：

1． 简单随机抽样

如果总体中每个个体被抽到的机会是均等的（即抽样的随机性），并且在抽取一个个体之后总体内成分不变（抽样的独立性），这种抽样方法称为简单随机抽样。简单随机抽样是最简单的抽样方法，它简便易行，使用范围广。常用的方式有：抽签法、随机数字表法等。

抽签法：先将总体中每个个体编上号码，再将每个号码写在签上，将签充分混合后，从中抽取n个（即样本的容量）签，与被抽到的签号相应的个体就进入样本。

随机数字表法：利用随机数字表抽样是简单随机抽样中常用的一种方法。随机数字表是用电子随机编号器编成的，由许多随机数排列起来的数字表。例如，要从30人的班级中抽选出5个学生作为样本，先把这30个学生编号，然后任意从表中的一个数字作为起点，或向上、向下、向左、向右的数字，选用其头两位按顺序选取5个。凡是编号与选取的数字相同者，定为被选对象，构成样本。

除利用随机数字表产生随机数字外，还可以利用计算机编制程序，或在计算机上产生随机数，这样抽样也很方便。 2. 机械随机抽样

机械随机抽样要先将总体中的所有个体按一定顺序编号，然后按确定的相等距离抽取个体（间隔距离的大小依据所需样本与总体中个体数目的比率而定）。例如，要从1000个学生中抽取10名学生作为样本，可将这1000名学生从1—1000编号后，先从1—100编号中随机抽出一个号码，假定是39，以下从39号开始，每隔100个号码抽取一个，抽到39，139，239，…939共10个编号，这些编号对应的学生就构成容量为10的样本。

3. 分层随机抽样

分层随机抽样也称类型随机抽样。先把总体按一定标准分为同质的若干层或类型，然后在每层或类型中随机抽样。采用分层随机抽样时应遵循一个基本原则，即所分的各层内的差异要尽量小，二层与层之间的差异要尽量大。对一个总体来说，怎样分层要视具体情况而定，分层的标准可以是一个，也可以是多个。例如，研究某校高三毕业生的数学推理能力，可按文、理分层，各自取样。而要调查某省高中二年级学生的实验能力，在抽样时就应考虑性别、城乡、学校是否重点、家庭等等各种因素，以这几个标准作为分层标准，依次分层，再抽取样本。

在把总体分好层次后，如何将样本容量n合理地分到各层中去，常用的方法是根据各层人数的多少按比例抽取。

4. 整群随机抽样

从总体中抽取出来的研究对象，不是以个体为单位，而是以整群作为单位的抽样方法，称为整群随机抽样。例如，要了解某市某年化学学科高考的成绩，可以以学校为单位进行随机抽样。

为了增强样本对总体的代表性，弥补整群抽样的不均匀性，可以采用整群随机抽样内部再进行分层随机抽样的两阶段随机抽样法。例如，要调查某省小学二年级学生的身体情况，抽样就可以分为两步。先将全省分为若干部分，从中随机抽取几个部分作为全省小学二年级学生的代表。接着在抽取的各部分中，再按性别、家庭、民族、学校等标准，以此进行分层抽样。在这种做法中，第一阶段中的样本，对于第二阶段来说又是总体。所以，在比较大的调查研究中，采用整群随机抽样与分层随机抽样相结合的做法是比较恰当的。

现实生活中概率问题随处可见，学好概率论和数理统计知识十分必要，我们学到的概率统计知识仅仅是一点点皮毛，如有必要我们还需深入学习它，达到学以致用的目的，在今后的学习生活中顺利解决遇到的此类问题。

虚实结合，点面俱到。

很有感觉的范文。

推荐访问:数理 试卷 统计