第四章-函数连续性

102 第四章

　连续性

　1. 函数的 连续性

　 定义 2.5.1 1

　设函数 ) (x f y  在0x 的某邻域内有定义，如果 ) ( ) ( lim00x f x fx x 则称函数 ) (x f 在0x 处 连续，并称0x 为 ) (x f 的 连续点.

　由此可见，函数在0x 点连续是函数在0x 点有极限的一种特殊情况，即极限值是函数值的特殊情况.

　若 ) ( ) ( lim00x f x fx x，则称 ) (x f 在0x 处 左连续； 若 ) ( ) ( lim00x f x fx x，则称 ) (x f 在0x 处 右连续

　显然，函数 ) (x f 在0x 处连续的充分必要条件是：

　函数 ) (x f 在0x 处既左连续又右连续.

　例 例 2.5. 1

　已知 0 , sin0 ,0 , sin) (11x xx bx a xx fxx（ a 、 b 为常数）在0  x 处连续，求 a 和 b .

　解

　由于 ) (x f 在 0  x 处连续，于是 b f x fx ) 0 ( ) ( lim0 当然有 b f x f x fx x    ) 0 ( ) ( lim ) ( lim0 0 而 a a x x fxx x     1 ) sin ( lim ) ( lim10 0， 103 0 sin lim ) ( lim10 0   xx xx x f

　所以

　b a    0 1

　 即 1   a ， 0  b

　在定义 2.5.1 中，若令0x x x    ， ) ( ) (0 0x f x x f y      ，则当0x x  时， 0  x ，于是有   ) ( ) ( lim lim0 00 0x f x x f yx x       

　  0) ( ) ( lim ) ( ) ( lim0 00 0    x f x f x f x fx x x x 这里称 x  为 自变量 x 的改变量，称 y  为 函数 ) (x f 的改变量. 于是我们可得到函数在0x 处连续的另一形式的定义.

　定义 2.5. 2

　设函数 ) (x f y  在0x 的某邻域内有定义，如果   0 ) ( ) ( lim lim0 00 0        x f x x f yx x 则称函数 ) (x f 在0x 处连续.

　定义 2.5.2 对于在点0x 连续的函数 ) (x f ，具有“自变量在0x处发生微小改变时，函数 ) (x f 也只发生微小改变“的性质. 在实际中，就意味着对于自变量在0x 处小的误差（改变量）所引起的函数值的误差（改变量）也是比较小的.

　定义 2.5.1 和定义 2.5.2 从不同角度刻画了函数连续的本质. 使用这两个定义讨论问题时各有自己的方便之处.

　定义 2.5. 3

　 如果函数 ) (x f 在区间 ) , ( b a 内每一点都连续，则称函数 ) (x f 在区间 ) , ( b a 内连续, ,，并称 ) , ( b a 为 ) (x f 的 连续区间. 如果 ) (x f 在 ) , ( b a 内连续，并在左端点 a 处右连续，在右端点 b 处左连续，则称 ) (x f 在区间 ] , [ b a 上连续.

　 104 从几何上看，在一个区间内每一个点都连续的函数，其图形应该是没有中断的，这时可以一笔画出其图像.

　我们已经证明：多项式函数和有理函数在其定义域内任一点的极限等于其在这一点的函数值，所以多项式函数和有理函数在其定义域内连续.

　例 例 2.5.2 2

　证明函数 x y sin  在 ) , (   内连续.

　证

　设0x 是区间 ) , (   上任意取定的一点，当自变量 x 在点0x处有改变量 x  时，函数相应的改变量为

　 )2cos(2sin 2 sin ) sin(0 0 0xxxx x x y     

　由于 1 ) cos(20 xx ，而 0 sin lim20 xx，因此 0 | ) cos( || sin 2 | lim | | lim2020 0       x xx xx y

　即有 0 ) cos( sin 2 lim lim2020 0       x xx xx y

　于是由定义 2.5.2 知， x y sin  在0x 处连续. 又因0x 是区间) , (   内的任意点，所以 x y sin  在 ) , (   内连续.

　可以证明， 基本初等函 数在其定义 域内都是连续的. 实际上，从前面讲到的六种基本初等函数的图形也可以看出，它们在其定义域内是一条连续的曲线.

　2. 函数的间断点

　由定义 2.5.1 可知，0x 为函数 ) (x f 的连续点，必须满足下面三个条件：

　（1）

　) (x f 在0x 处有定义； 105 （2）

　) ( lim0x fx x存在； （3）

　) ( ) ( lim00x f x fx x.

　上述三条有一条不满足时，0x 都不是函数 ) (x f 的连续点，此时称 ) (x f 在0x 处 不连续（也称 间断），称0x 为函数 ) (x f 的不连续点，或 间断点.

　例 例 2.5.3 3

　看图 2.5.2 ，讨论函数 ) (x f 在0x 点的连续性.

　) (x f y 0xOxy) (x f y 0xOxy

　（a）

　(b) ) (x f y 0xOxy0xOxy) (x f y 

　 (c)

　 (d) 图 图 2.5.2 2

　我们把左右极限都存在的间断点称为 第一类间断 点，其它类型的间断点称为 第二类间断点. 而在第一类间断点中，又将左右极限相等的间断点称为 可 去 间断点，左右极限不等的间断点称为 跳跃间 106 断点；在第二类间断点中，将左右极限至少有一个为无穷的间断点称为 无穷间断点.

　对于可去间断点可以通过补充或者改变这一点的函数值，使其在这一点变为连续.

　例 例 2.5.4 4

　讨论函数112xxy 在 1  x 处的连续性.

　解 因为函数112xxy 在 1  x 处无定义，所以此函数在 1  x 处不连续. 又因为

　 2 ) 1 ( lim11lim lim121 1    xxxyx x x 所以 1  x 为可去间断点.

　 如果我们补充 y 在 1  x 处的定义，令 2 |1   xy ，则新函数在 1  x 处连续.

　例 2.5.5

　讨论函数  1 , 41 , 1) (2x xx xx f 在 1  x 处的连续性.

　解

　因为 1. 2 ) 1 ( lim ) ( lim21 1    x x fx x 2. 3 ) 4 ( lim ) ( lim1 1    x x fx x 3. ) ( lim ) ( lim1 1x f x fx x  

　所以 ) (x f 在 1  x 处不连续，且 1  x 是跳跃间断点.

　3 3. . 连续函数的 运算 性质

　性质 2.5.1 1

　如果函数 ) (x f 和 ) (x g 在同一区间上有定义，且均在该区间上0x 点连续，那么函数 ) ( ) ( x g x f  ， ) ( ) ( x g x f 在0x 处也连续；当 0 ) (0 x g 时，函数) () (x gx f在0x 处也连续.

　 107 性质 2.5. 2

　如果函数 ) (x f y  是区间xI 上的单调连续函数，那么它的反函数 ) (1y f x 在对应区间 } ), ( | {x yI x x f y y I    上也是单调连续函数.

　从几何直观上来理解这个性质，由于1 f 的图形与 f 的图形关于直线 x y  对称，所以若 f 的图形没有间断点，1 f 的图形也不会有间断点，因此只要 f 连续，1 f 就连续.

　性质 2.5.3 3

　 设函数 )] ( [ x g f y  是由函数 ) (u f y  和 ) (x g u  复合而成，如果函数 ) (x g u  在0x 处连续，且0 0 )( u x g  ，而函数) (u f y  在0u 处连续，那么复合函数 )] ( [ x g f y  在0x 处也连续.

　此性质表明，当函数 ) (u f y  和 ) (x g u  满足性质中的条件时，求复合函数 )] ( [ x g f y  的极限，就是求其函数值，即

　)] lim ( [ )] ( [ )] ( [ lim0 00x g f x g f x g fx x x x   

　在这里我们不加证明地给出一个更广泛的结论：

　性质 2.5.4 4

　设函数 )] ( [ x g f y  是由函数 ) (u f y  和 ) (x g u 复合而成，如果函数0) ( lim0u x gx x，而函数 ) (u f y  在0u 处连续，那么复合函数 )] ( [ x g f y  在0x 处的极限存在，且 ) ( )] ( lim [ )] ( [ lim00 0u f x g f x g fx x x x   即极限运算和函数运算的次序可以交换.

　由前面的讨论我们知道，基本初等函数在其定义域内连续. 而初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函数，所以由性质 2.5.1 和性质 2.5.3，可得下面结论：

　4 4. . 初 等函数在其有定义的区间内都是连续的.

　所谓定义区间是指包含在定义域内的区间.

　 108 例 例 2.5.6 6

　求) 1 ln( 2arctanlim21xxx  解

　 因为函数) 1 ln( 2arctan2xxy  为初等函数，其定义域为) , (   ，由初等函数的连续性知，此函数在 1  x 处连续，所以 2 ln 4 8 ) 1 1 ln( 21 arctan) 1 ln( 2arctanlim2 21   xxx. 例 例 2.5.7 7

　求xxx) 1 ln(0lim

　 解

　因为xxxx1) 1 ln() 1 ln( ，令xx u1) 1 (   ，而e xxx 1) 1 ( lim0，函数 u ln 在 e u  处连续，所以 xxxxxx1) 1 ln( lim lim0) 1 ln(0 

　1 ln ) 1 ( lim ln10 e xxx交换次序 . 例 例 2. 5.8 8

　求 ) 0 (1lim0axa xx 解

　令 u a x  1 ，则 ) 1 ( log u xa  ，当 0  x 时， 0  u ，于是 aeuuuuuuxaauaauauauxxuulnlog1] ) 1 ( lim [ log1) 1 ( log1lim) 1 ( log11lim) 1 ( loglim1lim1100 0 0 0    

　 109 例 例 2.5.9 9

　xxxx2 sin0) 3 ( lim  解

　函数xxx y2 sin) 3 (   为幂指函数，在 0  x 点的某一个邻域内可将其变形为) 3 ln(2 sinxxxe y ，由指数函数和对数函数的连续性及性质2.5.4，可得

　9 3 lim ) 3 ( lim2 3 ln 2) 3 ln(2 sinlim02 sin00) 3 ln(2 sin      e e e xxxxxxxxxxxx 在此例中， 3 ) 3 ( lim0 xx， 22 sinlim0 xxx，而 9 3 ) 3 ( lim22 sin0  xxxx ，这个结论具有一般性吗？ 一般地，设 ) ( ), ( x v x u 在0x 点的某个邻域内有定义，0 ) ( lim0 A x ux x， B x vx x) ( lim0，则B x vx xA x u ) () ( lim0.

　事实上，因为) ( ln ) ( ) () (x u x v x ve x u  ，而 B A Bx u x vx u x v x u x vx u x vx xA e ee e ex x x xx x x x x x      ln) ( lim ln ) ( lim) ( ln lim ) ( lim ) ( ln ) ( lim) ( ln ) (0 00 0 00lim 所以B x vx xA x u ) () ( lim0.

　例 例 2.5. 10

　讨论函数 0 ,) 2 1 ln(0 , cos 1) (xxxx xx f 在其定义域内的连续性.

　解

　当 0  x 和 0  x 时， ) (x f 均为初等函数，由初等函数的连续性可知，当 0  x 和 0  x 时， ) (x f 是连续的. 下面讨论 0  x 处的情况.

　由于在 0  x 两侧 ) (x f 的表达式不同，根据定义，要分别求左极限和右极限. 因为 110 2 ) cos 1 ( lim ) ( lim0 0    x x fx x 2 ) 2 1 ln( lim lim ) ( lim20) 2 1 ln(0 021      xx x fxxxx x ) 0 ( 2 ) ( lim ) ( lim0 0f x f x fx x    ， 所以 ) 0 ( ) ( lim0f x fx 即函数 ) (x f 在 0  x 处连续.

　综上所述， ) (x f 在 ) , (   内连续.

　5 5 . 闭区间上连续函数的性质 前面我们重点讨论了函数在点0x 处的连续性及连续函数的运算性质，下面讨论闭区间上连续函数的分析性质. 这些性质在直观上很容易接受，同时也可以加深我们对连续性本质的认识，为今后进一步讨论函数提供理论基础.

　理 定理 2.5.1 1 （最大值和最小值定理）设函数 ) (x f y  在闭区间] , [ b a 上连续，则 ) (x f 在闭区间 ] , [ b a 上一定可以取得最大值 M 和最小值 m . 即在 ] , [ b a 上至少存在两点1 和2 ，使得对于任意的] , [ b a x ，恒有 M f x f f m     ) ( ) ( ) (2 1 

　) (1 a ) (2 bomMxy) (x f y ab12omMxy) (x f y 图 图 2.5.3

　 111 从几何直观上看，闭区间 ] , [ b a 上的一条连续曲线，必然至少有一点达到最高，也至少有一点达到最低，如图 2.5.3 所示. 注意，1 和2 有可能在端点.

　推论（有界性定理）

　如果函数 ) (x f y  在闭区间 ] , [ b a 上连续，则函数 ) (x f y  在闭区间 ] , [ b a 上一定有界.

　证

　因为函数 ) (x f y  在闭区间 ] , [ b a 上连续，由定理 2.5.1知，函数 ) (x f y  在闭区间 ] , [ b a 上一定可以取得最大值 M 和最小值m ，即对于任意 ] , [ b a x ，都有 M x f m   ) (

　成立. 取 |} | |, max{| M m K  ，则对于任意 ] , [ b a x ，有 K x f  | ) ( | 成立，所以函数 ) (x f y  在闭区间 ] , [ b a 上有界.

　定理 2.5.2 2 （介质定理）

　设函数 ) (x f y  在闭区间 ] , [ b a 上连续，则对介于最大值 M 和最小值 m 之间的任何实数 c （即 M c m   ），至少存在一点 ) , ( b a   ，使得 c f  ) (  .

　从几何直观上看，介于直线 m y  和 M y  之间的任何一条平行x 轴的直线 c y  ，都必然要穿过 ] , [ b a 上的连续曲线 ) (x f ，如图2.5.4 所示.

　推论（根的存在定理）

　设函数 ) (x f y  在闭区间 ] , [ b a 上连续，且 ) (a f 与 ) (b f 异号（即 0 ) ( ) (  b f a f ），则至少存在一点) , ( b a   ，使得 0  ) (  f

　推论是定理 2.5.2 中 0  c 时的特殊情形.

　此推论说明，如果函数 ) (x f y 在闭区间 ] , [ b a 上连续，且 ) (a f 与 ) (b fabo xy) (x f y 图 图2.5.5

　123abomMxy) (x f y 图 图2.5.4

　123y=c 112 异号，则方程 0 ) (  x f 在开区间 ) , ( b a 内至少有一个实根.

　从几何直观上看，如果闭区间 ] , [ b a 上连续函数 ) (x f y  的两个端点分别位于 x 轴的上、下两侧，则 x 轴必然要穿过 ] , [ b a 上的连续曲线 ) (x f ，如图 2.5.5.

　例 例 2.5.1 11 1

　证明方程 1 sin   x x 在区间 ) 2 , 2 ( 内至少有一个根.

　证

　设 1 sin ) (    x x x f ，则 ) (x f 为初等函数，其定义域为) , (   ，由初等函数的连续性知， ) (x f 在闭区间 ] 2 , 2 [ 上连续. 由于 0 1 2 2 sin ) 2 (0 1 ) 2 ( ) 2 sin( ) 2 (         ff 于是由推论可知，在 ) 2 , 2 ( 内至少有一点  ，使 0 ) (   f

　即 1 sin    

　所以方程 1 sin   x x 在区间 ) 2 , 2 ( 内至少有一个根.

　 113 习题 2.5（A）

　1．判断下列说法是否正确，并简述理由.

　（1）若 ) (x f 和 ) (x g 在点0x 处都不连续，那么 ) ( ) ( x g x f  、) ( ) ( x g x f  在点0x 处也一定不连续.

　（2）若 ) (x f 在点0x 处不连续，而 ) (x g 在点0x 处连续，那么) ( ) ( x g x f  在点0x 处一定不连续.

　（3）若 ) (x f 在点0x 处不连续，而 ) (x g 在点0x 处连续，那么) ( ) ( x g x f  在点0x 处一定不连续.

　（4）若 ) (x f 在点0x 处有定义，且 A x fx x) ( lim0. 那么 ) (x f在点0x 处连续.

　（5）若 | ) ( | x f 在点0x 处连续，那么 ) (x f 在点0x 处也连续.

　（6）若 ) (x f 在点0x 处连续，那么 | ) ( | x f 在点0x 处也连续.

　（7）若 ) (x f 在开区间 ) , ( b a 内连续，那么 ) (x f 在 ) , ( b a 内必取得最大值和最小值.

　（8）若 ) (x f 在开区间 ) , ( b a 内连续，且 ) (a f 与 ) (b f 异号，那么在 ) , ( b a 内一定存在方程 0 ) (  x f 的根.

　（9）基本初等函数在其定义域内连续.

　（10）初等函数在其定义域内连续.

　2.

　求下列极限 （1）21lim231 xx xx；

　（2）xxxsinlim2； （3）2) cos 1 ln(lim0xxex；

　（4）11 1lim0 xxx.

　 114 3. 求下列极限 （1）

　] ln ) 1 [ln( lim0x x xx ；

　 （2）

　 xxxx12 1 lim0 ； （3）

　 x xxe x10lim 

　（4）

　 xxx xcot203 1 lim   （5）

　xxxsinln lim0

　（6）xxxsin30) 2 1 ( lim  4．设函数    1 , 00 , 1 ,) ( ) 1 ( | |22xx xx f x xx x，讨论 ) (x f 的连续性.

　5．判断下列函数在指出点处是否连续？若是间断点，指出间断点的类型，若是可去间断点，则补充或改变函数在该点的定义，使之连续.

　（1）2 31) (22 x xxx f ， 2 , 1   x x

　（2）

　x x f cot ) (  ，  , 2 , 1 , 0 ,     k k x 

　（3）xx f1cos ) (2 ， 0  x

　 （4）0 , 10 ,) (21x ex fx， 0  x

　 （5）0 ,0 , 00 , arctan) () 1 ln(12xxxx fxxx， 0  x

　 115

　 （6）0 101xx ex fx,,) (

　 ， 0  x

　6．设 0 ,0 ,1sin) (x exxxx fx，根据  和  的不同情况，讨论) (x f 在 0  x 处的连续性.

　7．试证方程 b x a x   sin （ 0 , 0   b a ）至少有一个不超过b a 的正根.

　8．设函数 ) (x f 在 ] , [ b a 上连续， a a f  ) ( ， b b f  ) ( . 试证在开区间 ) , ( b a 内至少有一点  ，使    ) ( f . 习题 2.5（B）

　1. b a, 为何值时，函数 ) ( ,1lim ) (22 1 2     xxbx ax xx fnnn为连续函数？ 2. 设 ) (x f 在 ) , (   内 有 定 义 ， 且 a x fx ) ( lim ，0 , 00 ),1() (xxxfx g ，讨论 ) (x g 在 0  x 处的连续性.

　3.

　若 ) (x f 在闭区间[0,1]上连续， 0 ) 1 ( ) 0 (   f f

　，且当1 0   x 时，有 ) (x f >0.试证对任意的 1 0  a ，至少存在一点) 1 , 0 (0 x ，使 ) ( ) (0 0a x f x f  

　4.

　若 ) (x f 在 ) , (   内连续，且 x x f f  )) ( ( ，证明存在  ，使   ) ( f .

　5. 设 ) (x f 在 ] , [ b a 上连续，且 ) ( ) ( b f a f  ，证明至少存在一个] , [ ] , [ b a    ，且2a b    ，使 ) ( ) (   f f  .

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